研究テーマ

幾何と空間

距離や曲率は空間の「かたち」を表す量です。一方、その空間の上で振動や拡散を考えると、微分方程式と固有値の問題が現れます。形の情報が、どのように解析的な量に映るのか。この往復を学習の軸にしています。

考えたい問い

• 境界条件を変えると、固有値はどのように変わるか。
• 円やトーラスの周期性は、関数の展開にどう現れるか。
• 局所的な曲率と大域的な位相は、どこで結びつくか。

量子と情報

量子状態はヒルベルト空間のベクトルや密度演算子で記述されます。測定による確率、複合系の相関、時間発展のユニタリ性。小さな系を具体的に計算しながら、線形代数が物理の言葉になる過程をたどります。

考えたい問い

• 純粋状態と混合状態は、密度行列からどう区別できるか。
• 部分系だけを観測すると、どの情報が失われるか。
• 量子エントロピーは、何を定量化しているか。

力学と構造

力学系を位置と運動量の組で眺めると、運動は位相空間上の曲線になります。保存量はその曲線を制約し、対称性は保存則を導く手がかりになります。調和振動子のような基本的な例から、ハミルトン形式の幾何学的な見方を整理します。

考えたい問い

• エネルギー一定の曲線と、実際の運動はどう関係するか。
• 変数の取り替えによって、問題をどこまで簡単にできるか。
• 時間に依存しないハミルトニアンから、何が保存されるか。